EJEMPLOS DE TEORÍA DE COLAS

EJEMPLO CON MODELO DE UN SERVIDOR

El departamento para caballeros de un gran almacén tiene a un sastre para ajustes a la medida.  Parece que el número de clientes que solicitan ajustes sigue una distribución de poisson con una  tasa media de llegadas de 24 por hora, los ajustes se realizaron con un orden de primero que llega,  primero en atenderse y los clientes siempre desean esperar ya que las modificaciones son gratis. Aparentemente el tiempo que tarda para realizar el ajuste, se distribuye exponencialmente con una media de 2 minutos.

1. ¿Cuál es el número promedio de clientes en la sala de espera?

2. ¿Cuánto tiempo de permanencia en el sistema debería de planear un cliente?

3. ¿Qué % de tiempo permanece ocioso el sastre?

4. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente espere los servicios del sastre más de 10

Minutos?

EJERCICIO DE TEORÍA DE COLAS

Suponga un restaurante de comidas rápidas al cual llegan en promedio 100 clientes por hora. Se tiene capacidad para atender en promedio a 150 clientes por hora Se sabe que los clientes esperan en promedio 2 minutos en la cola Calcule las medidas de desempeño del sistema

a) ¿Cuál es la probabilidad que el sistema este ocioso?

b) ¿Cuál es la probabilidad que un cliente llegue y tenga que esperar, porque el sistema está ocupado?

c) ¿Cuál es el número promedio de clientes en la cola?

d) ¿Cuál es la probabilidad que hayan 10 clientes en la cola?

Solución: Se conoce la siguiente información:

λ= 100 clientes/hora (media de llegada de los clientes)= 100/60 clientes/minutos

μ= 150 clientes/hora (media de servicio a los clientes) = 150/60 clientes/minutos=

Wq = 2 minutos (tiempo promedio de espera de un cliente en la cola)

a) Para conocer cuál es la probabilidad de que el sistema este ocioso, primero conoceremos, cual es la probabilidad que esté ocupado o factor de utilización del sistema.

⍴= λµ= 100 clientes/hora 150 cliente/hora= 0.66=66.7% este porcentaje representa el tiempo que el sistema está ocupado. Es decir (1-⍴) representa el tiempo ocioso del sistema, es decir 1-0.667=0.333=33.3% el sistema permanece ocioso.

b) La probabilidad que un cliente llegue y tenga que esperar es suponer que estará como primer cliente en la cola. Usaremos la fórmula:

Pᶯ = (1- λ µ) (λ µ) ᶯ para nuestro caso n=1 y la formula se convierte en:

P1 = (1- λ µ) (λ µ)1= (1-100150) (100150)1= (1-0.667)=0.222=22.2%

Es decir existe un 22.2% de posibilidad que haya un cliente en la cola esperando ser atendido.

c) Ahora requerimos calcular el número de clientes en la línea de espera.

Lq= λ*Wq = 1.667 clientes/minutos*2 minutos= 3.334 clientes≈4 clientes en la cola.  

Es decir existe la posibilidad de llegar a tener un promedio de 4 clientes en la línea de espera.

                                                         

d) La probabilidad de que hayan 10 clientes en la cola, como hemos visto existe un promedio de tener hasta 4 clientes en la cola que hayan más de 4 las probabilidades serán muy pequeñas, para ese cálculo haremos uso de la fórmula que usamos en el inciso b de este mismo ejemplo.

P10= (1- λµ) (λµ)10=(1-100150)(100150)10=(1-0.667)(0.667)10=0.0058=0.58% (lo cual es casi cero). Es decir que es muy remoto o poco probable que pueda haber 10 clientes en la línea de espera.